本原多项式是近世代数中的一个概念，是唯一分解整环上满足所有系数的最大公因数为1的多项式。
本原多项式不等于零，与本原多项式相伴的多项式仍为本原多项式。
应用
1）在MATLAB中，本原多项式可以通过函数primpoly(x)来产生。
2）在MATLAB中，通过函数gfprimfd(m,'min')可以找到一个最小的本原多项式。
若m是一个合数,则存在GF(p)上的首1的m次不可约多项式,不是本原多项式.
证明:设m=qn,其中q>1是m的最小质因数.由m是合数,有n>1为m的最大真因数.
GF(p^m)的子域均形如GF(p^k),其中k为m的约数.
于是GF(p^m)的阶数最大的真子域就是GF(p^n).
考虑r=(p^m-1)/(p^q-1)=(p^(qn)-1)/(p^q-1)=p^(q(n-1))+p^(q(n-2))+...+1为整数.
有r是p^m-1的约数,且r<p^m-1(因为p^q-1>1).
此外由q≥2,n≥2,可得q(n-1)≥2n-2≥n,有r>p^n.
GF(p^m)-{0}关于乘法构成一个p^m-1阶循环群.
r是p^m-1的约数,于是其中存在r阶元,设a是GF(p^m)-{0}中的一个r阶元.
可知a不属于GF(p^m)的任意真子域GF(p^k),否则a的阶数≤p^k-1≤p^n-1<r.
因此GF(p^m)=GF(p)[a],a的极小多项式f(x)是首1的m次不可约多项式.
但r<p^m-1,a不是GF(p^m)的原根,故f(x)不是本原多项式.
即存在GF(p)上的首1的m次不可约多项式,不是本原多项式.
注:对特征p>2,无论m>1是否素数,r总可取为(p^m-1)/(p-1)<p^m-1.
此时m是合数的条件是不必要的.
本原多项式是近世代数中的一个概念，是唯一分解整环上满足所有系数的最大公因数为1的多项式。
本原多项式不等于零，与本原多项式相伴的多项式仍为本原多项式。
两个本原多项式的和不一定是本原多项式
两个本原多项式g(x)和f(x),令h(x)=g(x)f(x)记作Cs,若h(x)不是本原多项式,则存在当p是素数时p|Cs(s=0,1.成立。
本原多项式是近世代数中的一个概念，是唯一分解整环上满足所有系数的最大公因数为1的多项式。
本原多项式不等于零，与本原多项式相伴的多项式仍为本原多项式。
定理基本定理代数基本定理是指所有一元n次（复数）多项式都有n个（复数）根。
高斯引理两个本原多项式的乘积是本原多项式。
应用高斯引理可证，如果一个整系数多项式可以分解为两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定可以分解为两个整系数多项式的乘积。
这个结论可用来判断有理系数多项式的不可约性。
